片側だけ眠そうに見えます。片側だけの眼瞼下垂手術も可能ですか？

可能です。
ハードコンタクトレンズ装用者の方で、多く見られます。
その場合、手術したまぶたのほうが逆に大きく開き、手術しなかった方のまぶたが下がることがあります。
下垂のあった側のまぶたが手術で修正されると、脳が「もうそんなにまぶたを引き上げなくていいよ」と指令を出し、まぶたを引き上げる力が弱まります。それは下垂を手術した側だけでなく、反対側にも同時に作用するため、反対側のまぶたが手術前より下垂することになるのです。
左右のまぶたは言わばシーソーのような動きをするわけです。
片側性眼瞼下垂の手術後、約10%の人に反対側の下垂が生じるといわれており、経過によってはもう片方の眼も手術をすることがありますが、数か月以内で両眼のバランスが取れてくることが多いです。